§ 16. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
И ЧЕТЫРЕХВЕКТОРЫ
Полный текст - http://s1836.land.ru/cl/lor/lor.htm
О преобразованиях Лоренца в учебной и научной литературе написано очень много и в разных публикациях им придают неоднозначный смысл. В подходах Лоренца и Эйнштейна они также имеют совершенно разное содержание.
Естественно задать вопрос: так в чем же секрет и магическая сила этих преобразований координат и времени, которые, если можно так выразиться, перевернули наши представления об окружающем нас мире в ХХ веке?
На простейшем примере покажем, что понять физический смысл преобразований Лоренца не представляет большой сложности.
Пусть в направлении оси ОХ (рис.16.1) распространяется плоская волна В со скоростью с.
Рис.16.1. Движение наблюдателя Н и распространение плоской волны В вдоль оси OX.
Уравнение движения фронта этой волны в неподвижной системе координат, связанной со средой, имеет вид:
xв = c t. (16.1)
Наблюдатель Н движется в том же направлении со скоростью v. Уравнение движения наблюдателя такое
xн = v t. (16.2)
Уравнение (16.1) можно записать и в такой форме, сместив его по оси OX с целью перехода в подвижную систему координат,
xв - v t = c t - v t = c(t - b xв/c), (16.3)
где b = v/c. Чтобы уравнение (16.1) осталось в силе, мы просто вычли из правой и левой его части величину v t.
Такой простой прием преобразования уравнения (16.1) – это и есть уже начало преобразований Лоренца. Осталось только ввести в это уравнение справа и слева масштабный множитель g, который появился в запаздывающем потенциале (15.36).
Умножив обе части уравнения (16.3) на масштабный множитель g, мы получаем
g (xв – v t) = c g (t - b xв/c), (16.4)
или в сокращенной форме
x’в = c t’, (16.5)
где x’в = g (xв – v t) и t’ = g (t - b xв/c), (16.6)
Преобразования координат и времени (16.6) и есть настоящие преобразования Лоренца, которые были здесь получены так просто. При этом не будем забывать, что уравнение (16.5) – это то же самое уравнение (16.1) для распространения фронта волны, только записанное в новых штрихованных переменных.
Смысл этих операций свелся к тому, что, сместив уравнение (16.1) по оси OX , как бы переходя в подвижную систему координат наблюдателя, мы одновременно смещаем это уравнение и по оси времени, чтобы исходное уравнение (16.1) не нарушилось. Масштабный же множитель g введен только потому, что он появляется в силовых потенциалах для подвижных частиц при непосредственном их вычислении.
Во время этих преобразований по осям OY и OZ ничего не происходит, и эти переменные остаются без изменений.
Для плоской волны получилось все очень просто, однако в случае сферической волны ситуация чуть сложнее. Все дело в том, что электромагнитные поля, которые генерируются элементарными частицами, это - мир сферических волн, поскольку они всегда рождаются в некоторой малой области и распространяются со скоростью света в форме расширяющейся сферы. Уравнение распространения фронта сферической волны имеет вид
R = c t, (16.7)
где R - радиус расширяющейся сферы. Для сравнения полезно вспомнить уравнение (16.1), которое было записано для плоской волны. Возведем обе части уравнения (16.7) в квадрат
R2 = x 2 +y 2 +z 2 = c 2t2 . (16.8)
Теперь нетрудно догадаться, что если мы запишем уравнение (16.8) в форме
x' 2 +y 2 + z 2 = c 2t' , (16.9)
где x' и t' применены в соответствии с выражениями (16.6), то это будет то же самое уравнение (16.7) в тех же динамических переменных x, y, z, t, поскольку подобная замена переменных не нарушает исходного уравнения (16.7).
Проверим это в действии. Для этого возведем обе части уравнения (16.4) в квадрат
g 2(x 2 – 2 x v t + v 2t 2) = c 2g 2(t 2 - 2b x t/c + b 2x 2/c 2). (16.10)
После соответствующей перегруппировки слагаемых имеем
g 2x 2(1 - b 2) = c 2g 2t 2(1 - b 2) (16.11)
и окончательно после сокращения g 2 со скобкой получаем
x 2 = c 2 t 2, (16.12)
т.е. форма уравнения (16.1) полностью восстановилась. При этом заметим, что сокращение скобок в (16.11) произошло внутри каждой из частей, и поэтому не затрагивает масштабы по осям Х и Y, если эти переменные возникают в уравнении. Поэтому сохраняется и уравнение (16.7).
Другими словами, с использованием преобразований Лоренца мы добиваемся того, что сложная задача, связанная с перемещением объекта в поле сферических волн, переводится обратно в статику, и тем самым существенно упрощается ее решение. После замены переменных x, t на x', t' дальше мы поступаем с уравнениями так, как уже привыкли поступать в статике, где все было очень просто. Данная задача не является динамической, поскольку в формулах преобразований не содержится ни масс, ни сил, ни каких-либо полей. Это чисто кинематический эффект, поскольку вводится поправка на этот эффект, чтобы его скомпенсировать в уравнении распространения сферической волны. При этом вводится также понятие местного времени t’ в подвижной системе координат для полной компенсации введенных изменений по оси ОХ в данном уравнении.
Итак, мы установили, что преобразования Лоренца – это простая геометрическая поправка к картине волн на кинематический эффект, обусловленный перемещением объекта в среде.
В качестве примеров подобных поправок можно привести использование местного времени в различных городах мира для того, чтобы распорядок дня для людей, проживающих в разных городах, выглядел примерно одинаково. Здесь вводится кинематическая поправка, учитывающая вращение Земли. Аналогичная кинематическая поправка применяется в обсерваториях для телескопов, чтобы изображения планет, звезд или других наблюдаемых объектов оставались неподвижными за время наблюдения.
Поскольку человек сам создает эталоны длины и эталоны времени, то для перевода динамической задачи в статику несложно ввести новый эталон длины по оси ОХ и новый эталон времени, назвав его местным временем.
Если бы все частицы в эфире были неподвижны, то их силовые поля являлись бы сферически симметричными, и многие формулы имели простой вид, как закон Кулона или закон всемирного тяготения. Но все в мире движется, в результате чего силовые поля частиц за счет запаздывания рассеянных ими эфирных волн деформируются и создают большое многообразие различных по своей форме сил. Мы также живем в мире деформированных несферических полей ("кривых полей"), поскольку Солнечная система движется в эфире со скоростью около 300 км/c в направлении созвездия Льва.
В результате всех этих деформаций полей, обусловленных движением микрочастиц, электродинамика становится необычайно сложной и трудно поддающейся осмыслению частью физики, что порождает в свою очередь многочисленные мистификации в отношении пространственно-временных представлений.
Приведем еще один пример, где необходимо учитывать движение частицы в полях. Из теории поля хорошо известно, что полная производная по времени от некоторой полевой функции, вычисленная с учетом движения частицы в поле, не совпадает с частной производной от той же функции, вычисленной в неподвижной точке поля. Вычисляя полную производную по времени, мы переходим в систему координат, связанную с движущейся частицей, для которой полевые характеристики воспринимаются совсем по-иному, нежели для неподвижной частицы.
Образно говоря, движущаяся частица как бы выполняет своеобразную роль наблюдателя в подвижной системе координат и своим поведением сообщает нам, что процессы там происходят совсем не так, как у нас в неподвижной системе.
Когда мы переходим в подвижную систему координат, производя замену координаты Х и времени t в соответствии с преобразованиями Лоренца, то и функции, входящие в различные динамические уравнения, очевидно, также изменят свой вид, поскольку они могут зависеть от координаты Х и времени.
Представляет большой интерес найти некоторые общие правила, по которым можно было бы как по таблице производить преобразование различных функций, не повторяя кропотливых подстановок x' и t' в функции и уравнения. Оказывается, что такие правила удалось вывести, опираясь на те же самые преобразования Лоренца.
В работе [1] приводится пример прямого вывода преобразований Лоренца в применении к импульсу частицы р. При этом установлено, что величины (m c, p) ведут себя при переходе в подвижную систему координат точно так же, как и величины (c t, r) в формулах Лоренца (16.6).
Можно привести целый ряд других примеров, когда четыре функции, одна из которых скалярная, а три других - это проекции некоторого известного вектора в декартовых координатах, проявляют себя как аналоги величин (c t, x, y, z) при преобразованиях Лоренца [2, 3].
Если говорить точнее, то преобразования Лоренца касаются только скалярной функции и х - компоненты подходящего к этой скалярной функции вектора. Поэтому данные правила являются довольно простыми и не требуют разработки для этого какого-то специального математического аппарата или тензорного исчисления.
Можно подсказать небольшой секрет в подборе скалярной функции под соответствующий вектор. Поскольку преобразования Лоренца чаще всего используются в электродинамике, где участвуют волновые процессы со скоростью волн с, то скалярная функция, как правило, входит в эти преобразования в качестве временной компоненты в комбинации с константой с.
Поэтому в данном случае просто следует соблюдать размерность при подборе скалярной функции к вектору, т.е. скалярная функция должна иметь ту же самую размерность, что и вектор. Например вектору импульса р мы подбираем скаляр mc, волновому вектору k соответствует скаляр w/c, вектору плотности тока j = r v соответствует скаляр r c, векторному потенциалу А - скалярный потенциал j /c и так далее.
В этом случае преобразования Лоренца записываются в симметричной форме и имеют вид:
x' = g (x - b c t),
ct' = g (ct - b x). (16.13)
Несмотря на всю простоту данных преобразований, математики назвали рассматриваемую комбинацию из скалярной функции и вектора четырехвектором и разработали для таких четырехвекторов специальный четырехвекторный анализ. Он внешне очень напоминает обычный векторный анализ, но со своими специфическими свойствами, которые полностью определяются преобразованиями Лоренца [2].
Все же следует заметить, что скомбинировать две компоненты с помощью преобразований Лоренца, которые очень легко запомнить, может оказаться намного проще, чем путаться в громоздких и абстрактных тензорах и индексах, требующих специального изучения и запоминания, поскольку четырехвекторный анализ существенно отличается от обычного векторного анализа. За этими тензорами уже с трудом можно разглядеть реальные физические поля и уравнения движения материальных объектов.
Тензорный способ описания электромагнитных полей может оказаться удобным в целом ряде инженерных расчетов, например, при расчете ускорителя элементарных частиц или разнообразных реакций с участием этих частиц [2]. Но он не способствует пониманию физики процессов, как, к примеру, не помог в выводе уравнений Максвелла, выражения для силы Лоренца и калибровки Лоренца, не помог понять природу массы и заряда частиц, кулоновского поля и так далее. Об этих физических характеристиках мы продолжим разговор в следующих разделах.
Таким образом, единственной основой для всех преобразований функций и электромагнитных полей при переходе в подвижную систему координат являются обычные преобразования Лоренца. Их физический смысл и был детально рассмотрен нами выше, единственное назначение которых - это приведение сложной кинематической задачи к статике, где можно использовать привычные уравнения, полученные в статических условиях.
Поскольку все идеи, заложенные в преобразованиях Лоренца и четырехвекторах, возникли и развились в рамках обычных классических представлений, а также в классической электродинамике Максвелла - Лоренца, то можно сделать вывод, что они не имеют прямого отношения к специальной теории относительности (СТО).
Эйнштейном была выдвинута гипотеза о том, что все упомянутые выше преобразования могут быть получены только из принципа относительности и постулата об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. Исторически же преобразования Лоренца появились задолго до появления СТО и на основе совсем иных соображений.
Преобразования Лоренца возникли в рамках общих волновых представлений, которые носят универсальный характер, и поэтому не приходится сомневаться, что они будут справедливы для любых волновых процессов, в частности, в акустике движущейся среды [4]. Если преобразования Лоренца занимают центральное место в СТО, то в акустике эти преобразования используются на основе обычных волновых представлений, минуя принцип относительности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фейнман Р., Лэйтон Р., Сэндс М. Р. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1977. Вып. 1,2. С. 306.
2. Фейнман Р., Лэйтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика. М.: Мир, 1977. Вып. 6. C.15-150, 244-321.
3. Фейнман Р., Лэйтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции пофизике. Электродинамика. М.: Мир, 1977. Вып.5. C. 9-11.
4. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды.М.: Наука, 1981. С. 37-99.
5. Шаляпин А.Л., Стукалов В.И. Введение в классическую электродинамику и атомную физику. Второе издание, переработанное и дополненное. Екатеринбург, Изд-во Учебно-метод. Центр УПИ, 2006, 490 с.
За дополнительной информацией можно обратиться на сайты:
http://osh9.narod.ru http://s6767.narod.ru http://s1836.land.ru
http://s1836.narod.ru http://shal-14.boom.ru http://shal-14.narod.ru